有时候，当我们研究函数 $\phi$时，它的函数表达式是未知的。我们可能仅知道该函数在一系列离散点上的值（例如在 $t$ 时刻），但我们希望预测未来某一时刻 $t+\Delta t$ 的函数值。比如，假设 $\phi$ 代表温度，我们已知当前时刻的温度（即已知 $\phi(t)$），并希望预测明天（即 $t+\Delta t$ 时刻）的温度。

如果我们完全不知道明天的温度会是多少，但拥有今天的测量值，那么我们能做出的最佳猜想就是明天的温度与今天相同。这种估算虽不能做到 100% 精确，但也相差无几。这正是泰勒级数的第一项；也就是说，如果我们想获得 $\phi(t+\Delta t)$ 的近似值，可以假设它等于 $\phi(t)$（暂且忽略所有其他项）。

然而，如果我们同时还掌握昨天的温度，就能观察出温度是在上升还是在下降。换言之，我们知道了温度曲线的斜率——这无非就是导数，也就是泰勒级数的第二项。将第二项与第一项结合起来，我们便得到了： \begin{equation} \phi(t+\Delta t) \approx \phi(t)+\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} \frac{\Delta t}{1!} \end{equation}

如果我们拥有更多关于过去测量数据的信息，只要时间步长 $\Delta t$ 足够小，我们就可以引入越来越多的高阶导数，从而获得不断提升的精度。不过，即便我能得到所有的各阶导数，如果尝试提前几年去预测温度，恐怕依然无法得出准确的结果。但如果是预测未来几天，我们就能得到相当不错的估计。通常情况下，我们会将泰勒级数在保留前几项后进行截断，并将舍弃的那些项（及其最高指数）用 $\mathcal{O}(\Delta x^n)$ 来表示，其中 $n$ 是我们所舍弃的最低阶项的阶数。对于理解整体概念而言，这一项并不至关重要；如果你看到它，只需明白它代表我们省略了一些额外的项即可。毕竟泰勒级数是一个无穷级数，我们必须对其进行截断！下图展示了随着高阶导数的引入，对指数函数 $f(x) = \mathrm{e}^x$ 的近似程度是如何逐步改善的（其中 $n$ 的数值对应泰勒级数中的导数阶数