雷诺输运定理（Reynolds Transport Theorem）

雷诺输运定理（Reynolds Transport Theorem，简称 RTT）是微分学中 Leibniz 积分法则的三维推广，以英国力学家 Osborne Reynolds（1842–1912）命名¹⁾。它是连接系统法（Lagrange 描述）与控制体法（Euler 描述）的桥梁，是流体力学和连续介质力学中推导基本守恒方程的核心工具²⁾ ³⁾ ⁴⁾。

物理意义

在流体力学中，我们经常面临两类视角的转换：

系统法（Lagrange 描述）：追踪一个固定的流体微团（material element），观察其物理量随时间的变化
控制体法（Euler 描述）：观察一个固定的空间区域，统计进出该区域的物理量通量

雷诺输运定理提供了将系统法的时间导数转化为控制体法的积分形式的数学工具。简而言之，它指出一个运动流体微团的物理量变化率，等于该微团当前占据的控制体内物理量的局部变化率，加上通过控制面净流出（流入）的通量。⁵⁾

推导

我们先研究物理量随时间是如何演变的。考虑一个在某一时刻 $t$ 如下图左侧所示，控制体的体积为$V_0$ 当时间为$t+\Delta t$时，体积也对应的变化为$V_0+\Delta V$。

流动属性可以分为广延性质（Extensive properties）和强度性质（Intensive properties）。其中，广延性质取决于系统的大小，例如质量；而强度性质不依赖于系统的大小，例如密度。

让我们考虑一个广延性质$\Phi$。在流体力学中，我们主要讨论控制体（control volume）内的守恒流动物理量。也就是说，如果我们围绕系统的某一部分划定一个任意小的边界（即所谓的“控制体”），那么我们就可以认为这个控制体内部的物理属性是保持恒定的。在数学上，这相当于在说“我们取了一个平均值”，那么 \begin{equation} \Phi = \int_V \phi \mathrm{d}V \end{equation} 这在直觉上是说得通的。广延性质取决于系统的大小，例如，在体积为 $1\text{ m}^3$ 的水中所包含的质量，显然会与体积为 $10\text{ m}^3$ 的水中的质量不同（假设两者的密度保持相同）。因此，上述方程仅仅说明了这样一个事实：当我们通过积分 $\int_V \mathrm{d}V$ 来增加或减少系统的体积时，体积的这种变化与广延性质 $\Phi$ 的变化是成正比的。

这里有个比例因数$\phi$,它根据$\Phi$的不同，采用不同的形式。譬如，如果$\Phi$表示质量$m$，那么$\phi$就表示密度$\rho$，而上面的积分式就变成了:

\begin{equation} m = \int_V \rho \mathrm{d}V \end{equation}

这也是符合直觉的，因为密度乘以体积就得到了质量。这一点通过直接观察单位也非常容易看出: $$ \require{cancel} \begin{equation} [kg]=[\frac{kg}{\cancel{m^3}}][\cancel{m^3}] \end{equation} $$

当然，我们更关心物理量随时间的变化，因此我们对式子(1)对时间求导，则有 \begin{equation} \frac{\mathrm{d} \Phi} {\mathrm{d} t} = \int_V \frac {\mathrm{d}{\phi}}{\mathrm{d} t} \mathrm{d}V \end{equation}

然而，控制体是随时间变化，但我们却无法测量控制体是如何随时间变化的，因此无法求解等式右侧的积分。

每当我们遇到某个物理量随时间（或空间）的变化规律未知的情况时，都可以为该物理量构建泰勒级数，从而获得对该未知函数的一种近似表达。其核心思想是：用一个非常相似的函数（至少在局部小区间内），来替代无法求得解析解的原函数。随后，我们便可利用这个近似函数来推导导数等相关特性，这些特性与原始的未知函数十分接近。

因此，对于$\phi$,我们可以展开得到: \begin{equation} \phi(t+\Delta t) = \phi(t)+\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} \frac{\Delta t}{1!} + \frac{\mathrm{d}^2\phi}{\mathrm{d}^2t} \frac{\Delta^2 t}{2!}+...+\frac{\mathrm{d}^n\phi}{\mathrm{d}^nt} \frac{\Delta^n t}{n!} \end{equation}

历史背景

Osborne Reynolds 于 1903 年在其著作《Papers on Mechanical and Physical Subjects》中正式提出了这一定理⁶⁾。他因在流体力学中的多项贡献而闻名，包括雷诺数（Reynolds number）、雷诺应力（Reynolds stress）、雷诺平均 Navier-Stokes（RANS）方程等。中文社区中有大量关于 RTT 的优秀讲解资源⁷⁾ ⁸⁾。