====== SuperMemo 2 算法 ======

**SuperMemo 2（简称 SM-2）**是 Piotr Woźniak 于 1987 年发表的间隔重复算法，是现代电子记忆卡软件（如 Anki、Mnemosyne）的理论基础。它是 SuperMemo 系列的首次计算机化实现，也是目前应用最广泛的间隔重复算法之一(([[https://super-memory.com/english/ol/sm2.htm|Piotr Woźniak, Application of a computer to improve the results obtained in working with the SuperMemo method, Master's Thesis, 1990]]))。

===== 算法背景 =====

Piotr Woźniak 在 1985 年提出了纸笔版的 SM-0 算法，通过手动管理复习间隔来对抗艾宾浩斯遗忘曲线(([[https://en.wikipedia.org/wiki/SuperMemo|Wikipedia: SuperMemo]]))。但手工计算的效率极低，难以推广。1987 年 12 月，Woźniak 用 Turbo Pascal 3.0 编写了第一个计算机版 SuperMemo 程序，将间隔计算自动化，这就是 SM-2 算法(([[https://super-memory.com/english/ol/sm2.htm|Woźniak, 1990]]))。它的核心理念是：
  如果在遗忘临界点之前安排复习，就能以最少的时间维持长期记忆
这一原则与更早的心理学研究一致，间隔重复本身自 1930 年代以来就已被多位心理学家提出推荐(([[https://en.wikipedia.org/wiki/Spaced_repetition|Wikipedia: Spaced repetition]]))。

===== 核心变量 =====

每张卡片维护三个属性，每次复习后更新(([[https://super-memory.com/english/ol/sm2.htm|SM-2 Algorithm, Woźniak 1990]]))：

^ 变量 ^ 含义 ^ 初始值 ^
| **n** | 连续正确回忆次数 | 0 |
| **EF（Easiness Factor）** | 难度系数（范围 1.3~2.5） | 2.5 |
| **I** | 距下次复习的天数（间隔） | 0 |

每次复习时，用户需对回忆质量进行 0-5 级自评(([[https://en.wikipedia.org/wiki/SuperMemo#Software_implementation|Wikipedia: SuperMemo — Software implementation]]))：

^ 评分 ^ 含义 ^
| 0 | 完全忘记——完全不能回忆 |
| 1 | 错误——看到答案后觉得熟悉 |
| 2 | 错误——看到答案后觉得很容易 |
| 3 | **正确**——但回忆十分困难 |
| 4 | **正确**——有些犹豫 |
| 5 | **正确**——完美回忆，毫不费力 |

评分 3 及以上视为"正确"，0-2 视为"错误"。Woźniak 在设计 0-5 评分尺度时充分考虑了数字键盘的布局便利性——操作者可以在一秒内完成评分(([[https://super-memory.com/english/ol/sm2.htm|Woźniak, 1990]]))。

===== 算法流程 =====

SM-2 每次复习执行两步更新：先确定新间隔，再调整难度系数(([[https://super-memory.com/english/ol/sm2.htm|SM-2 Algorithm Specification]]))。

**步骤 1：计算新的间隔 I**

如果评分 >= 3（回答正确）：
  - 如果 n == 0：I = 1 天
  - 如果 n == 1：I = 6 天
  - 如果 n >= 2：I = I × EF
  - n = n + 1

如果评分 < 3（回答错误）：
  - n = 0（重置连续正确计数）
  - I = 1 天（明天再次复习）

初始间隔 1 天和 6 天源自 Woźniak 在 SM-0 算法（纸笔版）中的观察——后续间隔呈近似常数倍数增长(([[https://super-memory.com/english/ol/sm2.htm|Woźniak, 1990]]))。

**步骤 2：更新难度系数 EF**

EF 根据评分动态调整，Woźniak 通过启发式方法构造了以下公式，该公式在后续 3.5 年的计算机化使用中几乎没有变化(([[https://super-memory.com/english/ol/sm2.htm|Woźniak, 1990]]))：

<code>
EF = EF + (0.1 - (5 - q) × (0.08 + (5 - q) × 0.02))
</code>

其中 q 为用户评分（0-5）。注意当 q=4 时，EF 不变(([[https://super-memory.com/english/ol/sm2.htm|Woźniak, 1990]]))。计算后确保：

<code>
如果 EF < 1.3：EF = 1.3
</code>

EF 的下限 1.3 有特殊的实践意义：Woźniak 发现 EF 低于 1.3 的卡片复习过于频繁，且通常存在表述上的缺陷（未遵循最小信息原则）。将 EF 下限设为 1.3 后，学习效率显著提升，同时也提供了一个识别需要重新表述的卡片的指标(([[https://super-memory.com/english/ol/sm2.htm|Woźniak, 1990]]))。

===== 算法流程图 =====

SM-2 的完整决策路径：

<graphviz center 800x700 dot>
digraph SM2 {
    rankdir=TD;
    node [fontname="sans-serif", fontsize=11];
    edge [fontname="sans-serif", fontsize=10];

    start [label="复习卡片", shape=egg, fillcolor="#e8f5e9", style=filled];
    show [label="展示问题", shape=box, fillcolor="#bbdefb", style=filled];
    recall [label="能回忆起来吗？", shape=diamond, fillcolor="#fff9c4", style=filled];

    correct [label="自评 3-5 分（正确）", shape=box, fillcolor="#c8e6c9", style=filled];
    wrong [label="自评 0-2 分（错误）", shape=box, fillcolor="#ffcdd2", style=filled];

    check_n [label="连续正确次数 n？", shape=diamond, fillcolor="#fff9c4", style=filled];

    n0 [label="n = 0\nI = 1 天", shape=box, fillcolor="#e1f5fe", style=filled];
    n1 [label="n = 1\nI = 6 天", shape=box, fillcolor="#e1f5fe", style=filled];
    n2 [label="n >= 2\nI = I × EF", shape=box, fillcolor="#e1f5fe", style=filled];

    reset [label="n = 0\nI = 1 天（重置）", shape=box, fillcolor="#ffcdd2", style=filled];

    update_n [label="n = n + 1", shape=box, fillcolor="#e1f5fe", style=filled];
    update_ef [label="更新 EF", shape=box, fillcolor="#f3e5f5", style=filled];

    ef_calc [label="EF = EF + (0.1 - (5-q)×(0.08 + (5-q)×0.02))", shape=box, fillcolor="#e1bee7", style=filled];
    ef_min [label="EF < 1.3？", shape=diamond, fillcolor="#fff9c4", style=filled];
    ef_clamp [label="EF = 1.3", shape=box, fillcolor="#f8bbd0", style=filled];

    done [label="下次复习 = 今天 + I", shape=egg, fillcolor="#e8f5e9", style=filled];

    reinforce [label="补强复习：\n本次会话内再展示", shape=box, fillcolor="#fff3e0", style=filled];

    start -> show;
    show -> recall;

    recall -> correct [label="是", fontcolor="green"];
    recall -> wrong [label="否", fontcolor="red"];

    correct -> check_n;
    correct -> reinforce [label="评分 = 3", style=dashed, fontcolor="orange"];
    reinforce -> show;

    wrong -> reset;

    check_n -> n0 [label="0"];
    check_n -> n1 [label="1"];
    check_n -> n2 [label=">=2"];

    n0 -> update_n;
    n1 -> update_n;
    n2 -> update_n;
    reset -> update_ef;

    update_n -> update_ef;

    update_ef -> ef_calc;
    ef_calc -> ef_min;
    ef_min -> ef_clamp [label="是", fontcolor="red"];
    ef_min -> done [label="否", fontcolor="green"];
    ef_clamp -> done;
}
</graphviz>

===== 算法示例 =====

假设一张新卡片的初始状态：n=0, EF=2.5, I=0

**第一次复习：** 用户评分 5（完美回忆）
  - n=0 → I = 1 天
  - n → 1
  - EF = 2.5 + (0.1 - (5-5) × (0.08 + (5-5) × 0.02)) = 2.5 + 0.1 = **2.6**
  - 结果：1 天后复习，EF=2.6

**第二次复习（第 2 天）：** 用户评分 4
  - n=1 → I = 6 天
  - n → 2
  - EF = 2.6 + (0.1 - (5-4) × (0.08 + (5-4) × 0.02)) = 2.6 + (0.1 - 0.10) = **2.6**
  - 结果：6 天后复习

**第三次复习（第 8 天）：** 用户评分 5
  - n>=2 → I = 6 × 2.6 = 15.6 ≈ **16 天**
  - n → 3
  - EF = 2.6 + 0.1 = **2.7**
  - 结果：16 天后复习

随着正确次数增加，间隔呈指数增长：1 → 6 → ~16 → ~43 → ~116 天……

如果某次回答错误（评分 0-2），n 归零、I 重置为 1 天，从第一天重新开始。

===== 补强复习 =====

所有评分低于 4 的卡片，在本次复习结束后会被再次展示，直到评分达到 4 或 5。这意味着"勉强正确"（评分 3）也会在同一次会话中再看一遍。这一机制源自 Woźniak 的观察：评分 3 的卡片回忆十分困难，不做即时补强则极易在下一次间隔后彻底遗忘(([[https://super-memory.com/english/ol/sm2.htm|Woźniak, 1990]]))。

===== 与其他算法的关系 =====

SM-2 是后续算法家族中的基础版本(([[https://en.wikipedia.org/wiki/SuperMemo#Algorithms|Wikipedia: SuperMemo — Algorithms]]))：

^ 算法 ^ 年份 ^ 主要改进 ^
| SM-0 | 1985 | 纸笔计算，人工管理复习间隔 |
| **SM-2** | 1987 | 首次计算机实现，引入 EF 动态调整 |
| SM-4 | 1989 | 优化 OF 矩阵（最优间隔矩阵） |
| SM-5 | 1990 | 引入遗忘指数概念 |
| SM-8 | 1995 | 利用用户数据加速间隔适应 |
| SM-11 | 2002 | 抵抗复习延迟/提前干扰 |
| SM-17 | 2016 | 引入双成分记忆模型 |

SM-2 虽已诞生近 40 年，但仍是应用最广泛的间隔重复算法。**Anki** 的默认算法基于 SM-2 改进而来，其评分按钮（Again/Hard/Good/Easy）同样源自 SM-2 的 0-5 评分体系(([[https://docs.ankiweb.net/studying.html|Anki Manual: Studying]]))。**Mnemosyne** 也使用类似的 SM-2 变体。

===== 优缺点的对照 =====

**优势：**
  - 简单透明：仅需三个变量和两条公式，易于实现和理解(([[https://super-memory.com/english/ol/sm2.htm|Woźniak, 1990]]))
  - 自适应：EF 自动调整，难卡片复习更频繁，易卡片间隔增长更快
  - 经过验证：数十年间全球数千万用户使用基于 SM-2 的软件，大量学术研究证实了间隔重复的有效性(([[https://en.wikipedia.org/wiki/Spaced_repetition|Wikipedia: Spaced repetition]]))
  - 每条卡片的收益比得以优化：好卡片少出现，差卡片多出现，整体效率高于传统集中复习

**局限：**
  - EF 调整粗粒度：仅依赖单次 0-5 评分，评分的主观性波动可能影响间隔计算
  - 无遗忘模型：不直接追踪记忆强度或可提取性，而是通过历史表现间接推断
  - 首次间隔固定：1 天和 6 天是硬编码经验值，并非对所有内容类型最优
  - 补强复习机制可能导致同一次会话中重复展示多次，对低质量卡片用户容易被"堵车"

===== 伪代码实现 =====

<code>
初始化：
  n = 0
  EF = 2.5
  I = 0

每次复习（用户评分 q）：
  // 计算新间隔
  if q >= 3:
    if n == 0:  I = 1
    elif n == 1: I = 6
    else:       I = round(I * EF)
    n = n + 1
  else:
    n = 0
    I = 1

  // 更新难度系数
  EF = EF + (0.1 - (5 - q) * (0.08 + (5 - q) * 0.02))
  if EF < 1.3: EF = 1.3

  // 返回下次复习日期
  return today + I
</code>

===== 总结 =====

SM-2 用极简的数学规则捕捉了人类记忆的规律——刚学完的东西复习最频繁，掌握后间隔自然拉长。自 1987 年问世以来，它已被无数学子、语言学习者和专业人员所验证，至今仍是理解和实现间隔重复的绝佳起点。如果希望深入了解更现代的间隔重复算法，SuperMemo 团队持续发布的后续版本（SM-4 至 SM-20）和学术论文值得关注(([[https://en.wikipedia.org/wiki/SuperMemo#Algorithms|Wikipedia: SuperMemo — Algorithm versions]]))。

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